Фермы в металлоконструкциях: расчет и конструирование по СП 16.13330.2017

locolizator

Введение

Ферма - это стержневая конструкция, где стержни работают преимущественно на растяжение-сжатие и соединены в узлах. За счёт треугольной геометрии ферма “превращает” изгибающий момент в продольные усилия в стержнях, что позволяет перекрывать большие пролеты при меньшем расходе металла по сравнению с балками.

В этой статье разберем:

Почему ферма зачастую выгоднее балки
Какие бывают фермы и для каких пролетов
Как определить усилия в стержнях
Как подобрать сечения по СП 16.13330.2017
Конструктивные требования к узлам

1. Почему ферма выгоднее балки?

Сравним для пролета 24 м:

Балка двутаврового сечения: работает на изгиб, напряжение по высоте сечения распределено неравномерно (максимум в полках, ноль на нейтральной оси). Коэффициент использования материала - низкий.
Ферма: все стержни работают на сжатие-растяжение, напряжение по сечению стержня постоянное. Материал используется по максимуму.

Практически:

Для пролета 18 м можно делать и балку, и ферму - но ферма будет легче на 20-30%.
Для пролета 24 м и выше балка становится неоправданно тяжелой, и по умолчанию проектируют ферму.
Для пролетов 36-48 м ферма - уже безальтернативный вариант.

2. Типы ферм по решетке и назначению

СП 16.13330.2017 в разделе 15.2 определяет основные требования. По типу решетки различают:

Треугольная решетка

Классика. Стойки работают на сжатие, раскосы - на растяжение (или наоборот, зависит от схемы загружения). Применяется для пролетов 18-36 м.

Раскосная решетка

Все раскосы одного направления, стоек нет. Проще в изготовлении, но длиннее панели. Применяется для пролетов 24-48 м.

Шпренгельная решетка

Для особо длинных пролетов (48-60+ м) и больших нагрузок, когда нужна дополнительная разгрузка панелей.

По очертанию поясов:

Параллельные пояса - для плоских покрытий, мостов, подкрановых балок
Треугольное очертание - для скатных кровель:
- Для пролетов 18-30 м - применяется треугольная ферма
- Для пролетов 30-48 м - полигональная (с ломаным верхним поясом, ближе к параболе)
Сегментная - почти параболическая, дает наименьший расход стали, но дороже в изготовлении

3. Определение усилий в стержнях

Есть два основных подхода:

3.1. Метод вырезания узлов (строгий)

Строим равновесие каждого узла. Усилия находятся из суммы проекций на оси. Для больших ферм - матрица, которую решают численно.

3.2. Метод сечений (Риттера)

Для ферм с параллельными поясами можно найти усилия аналитически по простым формулам, используя балочную аналогию:

Усилие в верхнем поясе на средних панелях (сжатие):
$$
N_{вп} = -\frac{M_{max}}{h_0}
$$

Усилие в нижнем поясе (растяжение):
$$
N_{нп} = +\frac{M_{max}}{h_0}
$$

где:

$M_{max}$ - максимальный изгибающий момент от балочной схемы (как для разрезной балки того же пролета)
$h_0$ - высота фермы в осях

Усилие в раскосе у опоры:
$$
D = \frac{Q_{max}}{\sin\alpha}
$$

где:

$Q_{max}$ - максимальная поперечная сила у опоры
$\alpha$ - угол наклона раскоса к горизонтали

Усилие в опорной стойке:
$$
V = Q_{max}
$$

Важное замечание: это работает для фермы с параллельными поясами при равномерно распределенной нагрузке. Для других схем - метод сечений или численный расчет.

3.3. Пример: ферма пролетом 24 м

Исходные данные:

Пролет L = 24 м
Высота фермы h = 2,0 м (уклон кровли 1:8, h = L/12)
Шаг ферм: a = 6 м
Нагрузка: q_расч = 4,0 кН/м2 (снег + собственный вес + кровля)
Погонная нагрузка: q = 4,0 x 6 = 24 кН/м
Материал: сталь С245 (R_y = 240 МПа)

1. Определяем момент и поперечную силу по балочной схеме:
$$
M_{max} = \frac{qL^2}{8} = \frac{24 \times 24^2}{8} = 1728;\text{кН·м}
$$
$$
Q_{max} = \frac{qL}{2} = \frac{24 \times 24}{2} = 288;\text{кН}
$$

2. Усилия в поясах:
$$
N_{вп} = -\frac{1728}{2,0} = -864;\text{кН} \quad (\text{сжатие, верхний пояс})
$$
$$
N_{нп} = +\frac{1728}{2,0} = +864;\text{кН} \quad (\text{растяжение, нижний пояс})
$$

3. Усилие в раскосе у опоры (при треугольной решетке с углом раскоса 45 град):
$$
D = \frac{288}{\sin 45^\circ} = \frac{288}{0,707} = 407;\text{кН}
$$

4. Усилие в опорной стойке:
$$
V = 288;\text{кН}
$$

3.4. Подбор сечений по СП 16.13330.2017

Верхний пояс (сжатие N = 864 кН):

Задаемся гибкостью λ = 70. Для С245 при λ = 70:

По табл. Д.1 СП 16.13330.2017 для типа b (швеллеры, двутавры): φ ≈ 0,754.

Расчетная длина верхнего пояса из плоскости фермы - длина панели d = 3 м:
$$
l_{ef,y} = d = 3;\text{м}
$$

В плоскости фермы: $l_{ef,x} = 0,9d = 2,7;\text{м}$ (п. 15.2.1).

Требуемая площадь:
$$
A_{req} = \frac{N}{\varphi \cdot R_y \cdot \gamma_c} = \frac{864;000}{0,754 \times 240 \times 1,0} = 4775;\text{мм}^2
$$

Принимаем из двух швеллеров N 22 (2 x 26,7 см2 = 53,4 см2 > 47,75 см2).

Проверка гибкости:
$$
i_{req,x} = \frac{l_{ef,x}}{\lambda_{max}} = \frac{2700}{120} = 22,5;\text{мм}
$$
$$
i_{req,y} = \frac{3000}{120} = 25;\text{мм}
$$

Предельная гибкость для сжатых поясов:
$$
\lambda_{u} = 180 - 60\alpha = 180 - 60 \times 0,754 = 135
$$
то есть наш запас по гибкости соблюден.

Нижний пояс (растяжение N = 864 кН):

Расчет на прочность (формула 3, п. 9.1.1):
$$
\frac{N}{A_n} \le R_y \cdot \gamma_c
$$

Требуемая площадь нетто:
$$
A_{n,req} = \frac{864;000}{240 \times 1,0} = 3600;\text{мм}^2 = 36;\text{см}^2
$$

Принимаем 2 уголка 125x125x10 (2 x 24,3 = 48,6 см2) или тавр 20БП.

Предельная гибкость для растянутых поясов (п. 10.4.2):

Для ферм под статическую нагрузку: λ_u = 400.

4. Конструктивные требования (раздел 15.2 СП)

4.1. Расчетные длины элементов (п. 15.2.1)

Главное правило: расчетная длина сжатых поясов и опорных раскосов принимается:

В плоскости фермы: l_ef = 0,9l (l - расстояние между узлами)
Из плоскости фермы: l_ef = l (для поясов - расстояние между точками закрепления от смещения, для раскосов - полная длина)

Исключение: для раскосов, работающих на растяжение (когда они “выключаются” при некоторых загружениях), нужно считать их как сжатые. Это частая ошибка.

4.2. Толщина фасонок (п. 15.2.6)

Фасонки (узловые пластины) принимаются толщиной:

При усилиях до 500 кН: t = 10-12 мм
При усилиях 500-1000 кН: t = 12-14 мм
При усилиях 1000-2000 кН: t = 14-20 мм

4.3. Конструирование узлов

В узлах фермы центры тяжести всех сходящихся стержней должны сходиться в одной точке (осевая центровка). Эксцентриситет не более 5 мм - иначе в узле возникает дополнительный момент.

Проверка прочности сварных швов в узлах - по разделу 14.1. Для угловых швов:
$$
k_f = \frac{N}{2 \cdot \beta_f \cdot l_w \cdot R_{wf} \cdot \gamma_c}
$$

где k_f - катет шва, β_f - коэффициент формы шва (0,7 для ручной сварки), l_w - расчетная длина шва, R_{wf} - расчетное сопротивление углового шва срезу.

4.4. Ограничение гибкости (п. 15.2.8 - ссылка на раздел 10.4)

Предельные гибкости:

Сжатые пояса и опорные раскосы: λ_u = 180 - 60α (где α = N/(φ·A·R_y·γ_c) - коэффициент использования)
Прочие сжатые элементы решетки: λ_u = 210 - 60α
Растянутые пояса (статическая нагрузка): λ_u = 400
Прочие растянутые: λ_u = 400 (300 - при динамической)

4.5. Что говорит СП про прогибы

Фермы проектируют со строительным подъемом (п. 15.2.13):

Для пролетов L ≥ 36 м: строительный подъем = L/200
Для L < 36 м: по условиям прогиба, но не менее L/300

Предельный прогиб фермы покрытия (по СП 20.13330.2016): f_u = L/250.

5. Типичные ошибки

Не учли расчетную длину из плоскости - самая частая причина потери устойчивости фермы при монтаже
Забыли, что раскос может работать и на сжатие при другом загружении - например, при одностороннем снеге
Не проверили гибкость растянутых элементов - особенно нижнего пояса (провисание при монтаже)
Узлы с эксцентриситетом - возникают моменты, которых в “стержневой” схеме не было
Экономия на фасонках - слишком тонкая фасонка теряет устойчивость сама
Не сделали строительный подъем - ферма провиснет под нагрузкой больше нормы

Вывод

Ферма - это не “сложнее, чем балка”. Это просто другой подход: работа на сжатие-растяжение вместо изгиба. Ключевые моменты:

Для пролетов 18-24 м ферма легче балки на 20-30%
Расчет усилий - по балочной аналогии для параллельных поясов, или через ПК “Лира”, “SCAD” для сложных схем
Подбор сечений сжатых элементов - через гибкость и коэффициент φ (раздел 7 СП)
Главное конструктивное требование - расчетные длины из плоскости фермы
Строительный подъем - обязателен для пролетов >=36 м

Источник: СП 16.13330.2017 “Стальные конструкции”, разделы 7 (устойчивость), 9 (прочность), 10.4 (гибкости), 15.2 (фермы).