Расчёт стальных балок по СП 16.13330.2017: разбор на реальном примере

[locolizator]

Введение

Расчёт балки - это база, с которой начинается любой металлоконструктор. На первый взгляд всё просто: подобрал двутавр, проверил прочность, прогнулся - ок, готово. Но на практике есть куча нюансов: устойчивость, местные напряжения, прогибы, этапы работы.

В этой статье разберём расчёт разрезной двутавровой балки перекрытия от начала до конца - на реальных цифрах. Без «в общем-то всё понятно», с конкретными формулами и ссылками на пункты СП 16.13330.2017.

---

1. Исходные данные

Проектируем балку междуэтажного перекрытия в промышленном здании.

Геометрия:

• Пролёт: L = 6 м
• Шаг балок: a = 3 м
• Расчётная схема: шарнирно-опёртая балка

Нагрузки:

• Постоянная (вес перекрытия + балки): g_n = 4,0 кН/м², g_p = 4,8 кН/м²
• Полезная (кратковременная): v_n = 8,0 кН/м², v_p = 10,4 кН/м²

Материал: сталь С245 по ГОСТ 27772-2021 (для фасонного проката толщиной до 20 мм R_y = 240 МПа, табл. В.4 СП 16.13330.2017)

Предельные прогибы (по СП 20.13330.2016, табл. Е.1):

• Для перекрытия с полезной нагрузкой: f_u = L/250 = 24 мм

---

2. Сбор нагрузки на 1 м балки

Шаг балок a = 3 м, поэтому на погонный метр собирается нагрузка с площади 3 м².

Нормативная нагрузка (для проверки прогибов):

• Постоянная: q_n_пост = g_n × a = 4,0 × 3,0 = 12,0 кН/м
• Полезная: q_n_вр = v_n × a = 8,0 × 3,0 = 24,0 кН/м
• Итого: q_n = 36,0 кН/м

Расчётная нагрузка (для проверки прочности):

• Постоянная: q_р_пост = g_р × a = 4,8 × 3,0 = 14,4 кН/м
• Полезная: q_р_вр = v_р × a = 10,4 × 3,0 = 31,2 кН/м
• Итого: q_р = 45,6 кН/м

---

3. Усилия в балке

Для шарнирно-опёртой балки с равномерно распределённой нагрузкой:

Максимальный изгибающий момент:

$$
M_{\max} = \frac{q \cdot L^2}{8}
$$

• Расчётный: M_max = 45,6 × 6,0² / 8 = 205,2 кН×м

Максимальная поперечная сила:

$$
Q_{\max} = \frac{q \cdot L}{2}
$$

• Расчётная: Q_max = 45,6 × 6,0 / 2 = 136,8 кН

Нормативный момент (от нормативных нагрузок - для прогиба):

$$
M_n = \frac{q_n \cdot L^2}{8} = 36,0 \times 6,0^2 / 8 = 162,0\ \text{кН×м}
$$

---

4. Подбор сечения по прочности

Требуемый момент сопротивления (п. 8.2.1 СП 16.13330.2017, формула 41):

$$
W_{req} = \frac{M_{\max}}{R_y \cdot \gamma_c}
$$

где γ_c = 1,0 (табл. 1, п. 2 - балки сплошного сечения перекрытий).

$$
W_{req} = \frac{205,2 \times 10^6}{240 \times 1,0} = 855\ 000\ \text{мм}^3 = 855\ \text{см}^3
$$

Принимаем по сортаменту двутавр 40Б2 по ГОСТ 26020-83 (двутавры горячекатаные с параллельными гранями полок):

• Высота h = 396 мм
• Ширина полки b = 165 мм
• Толщина стенки s = 7,5 мм
• Толщина полки t = 11,5 мм
• Площадь A = 69,72 см²
• Масса 1 м = 54,7 кг
• Момент инерции J_x = 18 530 см⁴
• Момент сопротивления W_x = 935,7 см³
• Статический момент S_x = 529,7 см³

---

5. Проверка прочности

5.1. Нормальные напряжения (п. 8.2.1)

Условие прочности (формула 40):

$$
\frac{M}{W_x \cdot \gamma_c} \le R_y
$$

Фактические напряжения:

$$
\sigma = \frac{205,2 \times 10^6}{935,7 \times 10^3 \times 1,0} = 219,3\ \text{МПа}
$$

219,3 МПа < 240 МПа - прочность обеспечена с запасом 8,6%.

5.2. Касательные напряжения (п. 8.2.2)

Условие прочности (формула 43):

$$
\tau = \frac{Q \cdot S_x}{J_x \cdot t_w} \le R_s
$$

Расчётное сопротивление сдвигу для С245: R_s = 0,58 × R_y = 139,2 МПа (табл. 2 СП 16.13330.2017).

$$
\tau = \frac{136,8 \times 10^3 \times 529,7 \times 10^3}{18\ 530 \times 10^4 \times 7,5} = 52,1\ \text{МПа}
$$

52,1 МПа < 139,2 МПа - прочность на срез обеспечена.

5.3. Проверка по приведённым напряжениям (п. 8.2.3)

Проверяем на уровне поясных швов. Полка:

$$
S_f = b \cdot t \cdot \left(\frac{h}{2} - \frac{t}{2}\right) = 165 \times 11,5 \times \left(\frac{396}{2} - \frac{11,5}{2}\right) = 364\ 636\ \text{мм}^3
$$

На опоре:

$$
\tau_1 = \frac{Q \cdot S_f}{J_x \cdot t_w} = \frac{136,8 \times 10^3 \times 364\ 636}{18\ 530 \times 10^4 \times 7,5} = 35,9\ \text{МПа}
$$

В середине пролёта:

$$
\sigma_1 = \frac{M}{W_x} \cdot \frac{h - 2t}{h} = \frac{205,2 \times 10^6}{935,7 \times 10^3} \times \frac{396 - 23}{396} = 206,7\ \text{МПа}
$$

Приведённые напряжения:

$$
\sigma_{red} = \sqrt{\sigma_1^2 + 3\tau_1^2} \le 1,15R_y
$$

$$
\sigma_{red} = \sqrt{206,7^2 + 3 \times 35,9^2} = 215,7\ \text{МПа}
$$

1,15R_y = 276 МПа

215,7 МПа < 276 МПа - условие выполнено.

---

6. Проверка жёсткости (прогибов)

Прогиб балки от нормативной нагрузки:

$$
f = \frac{5}{384} \cdot \frac{q_n \cdot L^4}{E \cdot J_x}
$$

где E = 206 000 МПа (п. 6.1 СП 16.13330.2017).

$$
f = \frac{5}{384} \cdot \frac{36,0 \times 6000^4}{206\ 000 \times 18\ 530 \times 10^4} = 15,9\ \text{мм}
$$

Допустимый: f_u = L/250 = 24 мм (СП 20.13330.2016, табл. Е.1).

15,9 мм < 24 мм - жёсткость обеспечена.

Важно: Прогиб считается ТОЛЬКО от нормативных нагрузок (γ_f = 1,0). Расчётные нагрузки с коэффициентами γ_f > 1 используются только для проверок по первой группе предельных состояний (прочность, устойчивость).

---

7. Проверка общей устойчивости (п. 8.4 СП 16.13330.2017)

Для балок, работающих упруго, общую устойчивость проверяют по формуле 52:

$$
\frac{M}{\varphi_b \cdot W_x} \le R_y \cdot \gamma_c
$$

Коэффициент φ_b определяем по приложению Ж СП 16.13330.2017.

Для нашей балки: нагрузка приложена к верхнему поясу, точки раскрепления сжатого пояса - через 3 м (шаг поперечных балок).

Условная гибкость пояса:

$$
\lambda_{ef} = \frac{l_{ef}}{b} \cdot \sqrt{\frac{R_y}{E}}
$$

l_ef = 3000 мм (расстояние между точками раскрепления сжатого пояса).

$$
\lambda_{ef} = \frac{3000}{165} \cdot \sqrt{\frac{240}{206\ 000}} = 1,97
$$

По таблице Ж.1 приложения Ж: при λ_ef = 1,97 → φ_b = 0,96 (для схемы загружения 1 - нагрузка по верхнему поясу).

Проверка:

$$
\frac{205,2 \times 10^6}{0,96 \times 935,7 \times 10^3} = 228,4\ \text{МПа} < 240\ \text{МПа}
$$

Общая устойчивость обеспечена.

---

8. Проверка местной устойчивости стенки и полки (раздел 8.5)

8.1. Устойчивость сжатого пояса (п. 8.5.17)

Свес полки:

$$
b_{ef} = \frac{b - t_w}{2} = \frac{165 - 7,5}{2} = 78,75\ \text{мм}
$$

Отношение свеса к толщине:

$$
\frac{b_{ef}}{t_f} \le 0,5 \cdot \sqrt{\frac{E}{R_y}}
$$

Фактическое: 78,75 / 11,5 = 6,85

Предельное: 0,5 × √(206 000 / 240) = 14,65

6,85 < 14,65 - устойчивость пояса обеспечена.

8.2. Устойчивость стенки (п. 8.5.3)

Условная гибкость стенки:

$$
\lambda_w = \frac{h_w}{t_w} \cdot \sqrt{\frac{R_y}{E}}
$$

h_w = h - 2t = 396 - 23 = 373 мм

$$
\lambda_w = \frac{373}{7,5} \cdot \sqrt{\frac{240}{206\ 000}} = 4,19
$$

По п. 8.5.3: при λ_w ≤ 3,5 установка рёбер жёсткости не требуется.

4,19 > 3,5 - требуется установка поперечных рёбер жёсткости!

Шаг рёбер - не более 2h_w = 2 × 373 = 746 мм (п. 8.5.8).

---

9. Итоговый вывод

Для перекрытия пролётом 6 м с шагом балок 3 м и нагрузкой до 10,4 кПа принят:

Двутавр 40Б2 по ГОСТ 26020-83 (сталь С245 по ГОСТ 27772-2021).

Проверки:

• Нормальные напряжения: σ = 219,3 МПа < R_y = 240 МПа
• Касательные напряжения: τ = 52,1 МПа < R_s = 139,2 МПа
• Приведённые напряжения: σ_red = 215,7 МПа < 1,15R_y = 276 МПа
• Прогиб: f = 15,9 мм < f_u = 24 мм
• Общая устойчивость: φ_b = 0,96 (обеспечена)
• Устойчивость пояса: обеспечена
• ️ Стенка: λ_w = 4,19 > 3,5 → требуется установка поперечных рёбер жёсткости с шагом не более 746 мм

Расход стали: 54,7 кг/м, или 328 кг на балку пролётом 6 м.

---

Заключение

Расчёт балки - это цепочка последовательных проверок. Пропустил устойчивость - и на объекте балка «скрутится» под нагрузкой. Забыл про нормативные нагрузки для прогиба - получил переразмеренное сечение. А главное: проверку местной устойчивости стенки не стоит игнорировать, даже на прокатных профилях.

В следующей статье разберём устойчивость стенок и рёбра жёсткости в деталях.