Расчёт балки - это база, с которой начинается любой металлоконструктор. На первый взгляд всё просто: подобрал двутавр, проверил прочность, прогнулся - ок, готово. Но на практике есть куча нюансов: устойчивость, местные напряжения, прогибы, этапы работы.

В этой статье разберём расчёт разрезной двутавровой балки перекрытия от начала до конца - на реальных цифрах. Без «в общем-то всё понятно», с конкретными формулами и ссылками на пункты СП 16.13330.2017.

1. Исходные данные

Проектируем балку междуэтажного перекрытия в промышленном здании.

Геометрия:

• Пролёт: L = 6 м
• Шаг балок: a = 3 м
• Расчётная схема: шарнирно-опёртая балка

Нагрузки:

• Постоянная (вес перекрытия + балки): g_n = 4,0 кН/м², g_p = 4,8 кН/м²
• Полезная (кратковременная): v_n = 8,0 кН/м², v_p = 10,4 кН/м²

Материал: сталь С245 по ГОСТ 27772-2021 (для фасонного проката толщиной до 20 мм R_y = 240 МПа, табл. В.4 СП 16.13330.2017)

Предельные прогибы (по СП 20.13330.2016, табл. Е.1):

• Для перекрытия с полезной нагрузкой: f_u = L/250 = 24 мм

2. Сбор нагрузки на 1 м балки

Шаг балок a = 3 м, поэтому на погонный метр собирается нагрузка с площади 3 м².

Нормативная нагрузка (для проверки прогибов):

• Постоянная: q_n_пост = g_n × a = 4,0 × 3,0 = 12,0 кН/м
• Полезная: q_n_вр = v_n × a = 8,0 × 3,0 = 24,0 кН/м
• Итого: q_n = 36,0 кН/м

Расчётная нагрузка (для проверки прочности):

• Постоянная: q_р_пост = g_р × a = 4,8 × 3,0 = 14,4 кН/м
• Полезная: q_р_вр = v_р × a = 10,4 × 3,0 = 31,2 кН/м
• Итого: q_р = 45,6 кН/м

3. Усилия в балке

Для шарнирно-опёртой балки с равномерно распределённой нагрузкой:

Максимальный изгибающий момент:

$$
M_{max} = rac{q cdot L^2}{8}
$$

• Расчётный: M_max = 45,6 × 6,0² / 8 = 205,2 кН×м

Максимальная поперечная сила:

$$
Q_{max} = rac{q cdot L}{2}
$$

• Расчётная: Q_max = 45,6 × 6,0 / 2 = 136,8 кН

Нормативный момент (от нормативных нагрузок - для прогиба):

$$
M_n = rac{q_n cdot L^2}{8} = 36,0 imes 6,0^2 / 8 = 162,0 ext{кН×м}
$$

4. Подбор сечения по прочности

Требуемый момент сопротивления (п. 8.2.1 СП 16.13330.2017, формула 41):

$$
W_{req} = rac{M_{max}}{R_y cdot gamma_c}
$$

где γ_c = 1,0 (табл. 1, п. 2 - балки сплошного сечения перекрытий).

$$
W_{req} = rac{205,2 imes 10^6}{240 imes 1,0} = 855 000 ext{мм}^3 = 855 ext{см}^3
$$

Принимаем по сортаменту двутавр 40Б2 по ГОСТ 26020-83 (двутавры горячекатаные с параллельными гранями полок):

• Высота h = 396 мм
• Ширина полки b = 165 мм
• Толщина стенки s = 7,5 мм
• Толщина полки t = 11,5 мм
• Площадь A = 69,72 см²
• Масса 1 м = 54,7 кг
• Момент инерции J_x = 18 530 см⁴
• Момент сопротивления W_x = 935,7 см³
• Статический момент S_x = 529,7 см³

5. Проверка прочности

5.1. Нормальные напряжения (п. 8.2.1)

Условие прочности (формула 40):

$$
rac{M}{W_x cdot gamma_c} le R_y
$$

Фактические напряжения:

$$
sigma = rac{205,2 imes 10^6}{935,7 imes 10^3 imes 1,0} = 219,3 ext{МПа}
$$

219,3 МПа < 240 МПа - прочность обеспечена с запасом 8,6%.

5.2. Касательные напряжения (п. 8.2.2)

Условие прочности (формула 43):

$$
au = rac{Q cdot S_x}{J_x cdot t_w} le R_s
$$

Расчётное сопротивление сдвигу для С245: R_s = 0,58 × R_y = 139,2 МПа (табл. 2 СП 16.13330.2017).

$$
au = rac{136,8 imes 10^3 imes 529,7 imes 10^3}{18 530 imes 10^4 imes 7,5} = 52,1 ext{МПа}
$$

52,1 МПа < 139,2 МПа - прочность на срез обеспечена.

5.3. Проверка по приведённым напряжениям (п. 8.2.3)

Проверяем на уровне поясных швов. Полка:

$$
S_f = b cdot t cdot left(rac{h}{2} - rac{t}{2}
ight) = 165 imes 11,5 imes left(rac{396}{2} - rac{11,5}{2}
ight) = 364 636 ext{мм}^3
$$

На опоре:

$$
au_1 = rac{Q cdot S_f}{J_x cdot t_w} = rac{136,8 imes 10^3 imes 364 636}{18 530 imes 10^4 imes 7,5} = 35,9 ext{МПа}
$$

В середине пролёта:

$$
sigma_1 = rac{M}{W_x} cdot rac{h - 2t}{h} = rac{205,2 imes 10^6}{935,7 imes 10^3} imes rac{396 - 23}{396} = 206,7 ext{МПа}
$$

Приведённые напряжения:

$$
sigma_{red} = sqrt{sigma_1^2 + 3 au_1^2} le 1,15R_y
$$

$$
sigma_{red} = sqrt{206,7^2 + 3 imes 35,9^2} = 215,7 ext{МПа}
$$

1,15R_y = 276 МПа

215,7 МПа < 276 МПа - условие выполнено.

6. Проверка жёсткости (прогибов)

Прогиб балки от нормативной нагрузки:

$$
f = rac{5}{384} cdot rac{q_n cdot L^4}{E cdot J_x}
$$

где E = 206 000 МПа (п. 6.1 СП 16.13330.2017).

$$
f = rac{5}{384} cdot rac{36,0 imes 6000^4}{206 000 imes 18 530 imes 10^4} = 15,9 ext{мм}
$$

Допустимый: f_u = L/250 = 24 мм (СП 20.13330.2016, табл. Е.1).

15,9 мм < 24 мм - жёсткость обеспечена.

Важно: Прогиб считается ТОЛЬКО от нормативных нагрузок (γ_f = 1,0). Расчётные нагрузки с коэффициентами γ_f > 1 используются только для проверок по первой группе предельных состояний (прочность, устойчивость).

7. Проверка общей устойчивости (п. 8.4 СП 16.13330.2017)

Для балок, работающих упруго, общую устойчивость проверяют по формуле 52:

$$
rac{M}{arphi_b cdot W_x} le R_y cdot gamma_c
$$

Коэффициент φ_b определяем по приложению Ж СП 16.13330.2017.

Для нашей балки: нагрузка приложена к верхнему поясу, точки раскрепления сжатого пояса - через 3 м (шаг поперечных балок).

Условная гибкость пояса:

$$
lambda_{ef} = rac{l_{ef}}{b} cdot sqrt{rac{R_y}{E}}
$$

l_ef = 3000 мм (расстояние между точками раскрепления сжатого пояса).

$$
lambda_{ef} = rac{3000}{165} cdot sqrt{rac{240}{206 000}} = 1,97
$$

По таблице Ж.1 приложения Ж: при λ_ef = 1,97 → φ_b = 0,96 (для схемы загружения 1 - нагрузка по верхнему поясу).

Проверка:

$$
rac{205,2 imes 10^6}{0,96 imes 935,7 imes 10^3} = 228,4 ext{МПа} < 240 ext{МПа}
$$

Общая устойчивость обеспечена.

8. Проверка местной устойчивости стенки и полки (раздел 8.5)

8.1. Устойчивость сжатого пояса (п. 8.5.17)

Свес полки:

$$
b_{ef} = rac{b - t_w}{2} = rac{165 - 7,5}{2} = 78,75 ext{мм}
$$

Отношение свеса к толщине:

$$
rac{b_{ef}}{t_f} le 0,5 cdot sqrt{rac{E}{R_y}}
$$

Фактическое: 78,75 / 11,5 = 6,85

Предельное: 0,5 × √(206 000 / 240) = 14,65

6,85 < 14,65 - устойчивость пояса обеспечена.

8.2. Устойчивость стенки (п. 8.5.3)

Условная гибкость стенки:

$$
lambda_w = rac{h_w}{t_w} cdot sqrt{rac{R_y}{E}}
$$

h_w = h - 2t = 396 - 23 = 373 мм

$$
lambda_w = rac{373}{7,5} cdot sqrt{rac{240}{206 000}} = 4,19
$$

По п. 8.5.3: при λ_w ≤ 3,5 установка рёбер жёсткости не требуется.

4,19 > 3,5 - требуется установка поперечных рёбер жёсткости!

Шаг рёбер - не более 2h_w = 2 × 373 = 746 мм (п. 8.5.8).

9. Итоговый вывод

Для перекрытия пролётом 6 м с шагом балок 3 м и нагрузкой до 10,4 кПа принят:

Двутавр 40Б2 по ГОСТ 26020-83 (сталь С245 по ГОСТ 27772-2021).

Проверки:

• Нормальные напряжения: σ = 219,3 МПа < R_y = 240 МПа
• Касательные напряжения: τ = 52,1 МПа < R_s = 139,2 МПа
• Приведённые напряжения: σ_red = 215,7 МПа < 1,15R_y = 276 МПа
• Прогиб: f = 15,9 мм < f_u = 24 мм
• Общая устойчивость: φ_b = 0,96 (обеспечена)
• Устойчивость пояса: обеспечена
• ️ Стенка: λ_w = 4,19 > 3,5 → требуется установка поперечных рёбер жёсткости с шагом не более 746 мм

Расход стали: 54,7 кг/м, или 328 кг на балку пролётом 6 м.

Заключение

Расчёт балки - это цепочка последовательных проверок. Пропустил устойчивость - и на объекте балка «скрутится» под нагрузкой. Забыл про нормативные нагрузки для прогиба - получил переразмеренное сечение. А главное: проверку местной устойчивости стенки не стоит игнорировать, даже на прокатных профилях.

В следующей статье разберём устойчивость стенок и рёбра жёсткости в деталях.